Ce chagrin-là vient en effet du turc 'sagrï' ou 'çâgri' (selon les sources) qui désignait d'abord la croupe d'un animal puis, par métonymie, la peau du même animal.
C'est plus précisément de l'âne ou de la mule, dont la peau est à fois dure et élastique, qu'on tirait la 'peau de sagrin' (au XVIe siècle), devenue la 'peau de chagrin' suite à l'influence du mot usuel 'chagrin', et qui servait à fabriquer des tambours, des chaussures ou des reliures de livres.

Mais pourquoi cette histoire de réduction, me direz-vous ?
Eh bien cela vient du fameux roman « La peau de chagrin » d'Honoré de Balzac dans lequel cette peau est une pièce de cuir magique qui exauce tous les vœux de son possesseur, mais qui, à chaque désir réalisé, voit sa taille diminuer, tout en rongeant progressivement la vie de son propriétaire qui mourra en même temps que la peau disparaîtra à la suite à un dernier désir satisfait.